群的定义

群的定义是基于其运算的，一个群是一个有序对 (G,∗)(G,*)，其中：

  • GG 是一个非空集合。

  • * 是定义在 GG 上的一个二元运算，即为一个映射 G×G→GG\times G\to G，把任意两个元素 a,ba,b 对应到 GG 中唯一一个元素 a∗ba*b（运算结果是唯一的）。

  • 满足四条公理，封闭性，结合律，存在单位元，每个元素存在逆元。

    • 单位元：e∈Ge\in G，使得对于任意 a∈Ga\in G，都成立 a⋅e=e⋅a=aa\cdot e = e\cdot a = a。

群的基本性质

  • 单位元是唯一的。

  • 逆元是唯一的。

  • 消去律：对于 a,b,c∈Ga,b,c\in G，如果 a⋅c=b⋅ca\cdot c=b\cdot c 或 c⋅a=c⋅bc\cdot a=c\cdot b，那么有 a=ba=b。

扩展

半群

对于非空集合 GG 和其上的二元运算 ⋅\cdot，如果该运算满足结合律，则称 (G,⋅)(G,\cdot) 是一个 半群。

幺半群

对于半群 (G,⋅)(G,\cdot)，如果它还存在单位元，则称 (G,⋅)(G,\cdot) 是一个 幺半群。

Abel 群

除了满足结合律外，还满足交换律。

对于群 (G,⋅)(G,\cdot)，如果运算 ⋅\cdot 还满足交换律，即对于所有 a,b∈Ga,b\in G，都成立 a⋅b=b⋅aa\cdot b=b\cdot a，则称 (G,⋅)(G,\cdot) 是一个 Abel 群 或 交换群。

子群

子群

对于群 (G,⋅)(G,\cdot) 和它的一个子集 H⊆GH\subseteq G，如果 (H,⋅)(H,\cdot) 也是一个群，则称子集 HH 是 GG 的一个 子群，记作 H≤GH\le G。

生成子群

也叫群的生成子集。

对于群 GG 的一个子集（注意不是子群）SS，包含 SS 的最小子群就叫做 SS 的生成子群，记作 ⟨S⟩\langle S \rangle。

循环群

仅由一个元素生成的群的结构非常简单，这样的群称为循环群。

对于群 GG，如果存在 x∈Gx\in G，成立 G=⟨x⟩G=\langle x\rangle，则称 GG 是一个 循环群。

阶

群的阶

群 GG 的 阶是它的元素个数，记作 ∣G∣|G|，无限群的阶也是无限。

元素的阶

群 GG 中元素 x∈Gx\in G 的阶是最小的正整数 nn 使得 xn=ex^n=e 成立，记作 ∣x∣|x|；如果这样的 nn 不存在，则称元素 xx 的阶是无限，记作 ∣x∣=∞|x|=\infty。

定理：

有限循环群 Cn=⟨x⟩C_n=\langle x\rangle 中，元素 xkx^k 的阶是 ngcd⁡(k,n)\frac{n}{\gcd(k,n)}，特别地，CnC_n 的生成元的数目是 φ(n)\varphi(n)。

陪集

左陪集

gH={gh:h∈H}gH = \{gh:h\in H\}

右陪集

Hg={hg:h∈H}Hg = \{hg:h\in H\}

陪集中的元素称为陪集的代表元。

Lagrange 定理

对于有限群 GG 和它的子群 H≤GH\le G，成立 ∣G∣=[G:H]∣H∣|G|=[G:H]|H|，这里，[G:H][G:H] 表示 GG 中子群 HH 的左（右）陪集数，称为群 GG 中子群 HH 的 指数。

正规子群

设 N≤GN\le G 是群 GG 的子群，如果对所有 h∈Nh\in N 和 g∈Gg\in G，都成立 ghg−1∈Nghg^{-1}\in N，换言之，对所有 g∈Gg\in G，都成立 gNg−1⊆NgNg^{-1}\subseteq N，则称 NN 是 GG 的一个 正规子群，记作 N⊴GN\trianglelefteq G。

群的性质与应用

轨道-稳定子群定理

考虑群 GG 作用在 AA 上，每个 a∈Aa\in A 有轨道 Oa\mathcal O_a，Oa={g⋅a∣g∈G}\mathcal O_a = \{g\cdot a | g \in G\}。设 Ga={g∣g⋅a=a}G_a = \{g\mid g\cdot a = a\} 表示所有保持 aa 不变的 GG 的变换，则

∣Oa∣∣Ga∣=∣G∣.|\mathcal O_a| |G_a| = |G|.

Burnside 引理

根据刚刚的 轨道-稳定子定理：

∑ai∈Oi∣Gai∣=∣G∣,\sum_{a_i\in \mathcal O_i} |G_{a_i}| = |G|,

然后，集合 AA 在 GG 作用下的轨道数量 kk：

∑a∈A∣Ga∣=∑i=1k∑a∈Oi∣Ga∣=∑i=1k∣G∣=k⋅∣G∣\sum_{a \in A} |G_a| = \sum_{i=1}^k \sum_{a \in \mathcal O_i} |G_a| = \sum_{i=1}^k |G| = k \cdot |G| k=1∣G∣∑a∈A∣Ga∣k = \frac {1} {|G|}\sum_{a\in A} |G_a|

Pólya 计数定理

Pólya 计数定理是 Burnside 引理的特例，这里只介绍简化版本。

依然考虑先前的例子，计算长为 nn 且值域为 [1,m][1,m] 的整数序列在循环同构下的数量。此时 G={g0,g1,⋯ ,gn−1}G=\{g_0,g_1,\cdots,g_{n-1}\} 是所有长为 nn 的循环移位。根据 Burnside 引理，计算 f(gi)f(g_i)。